Die H-Methode ist eine Methode, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dabei wird die Matrix der Gleichungen in eine obere Dreiecksmatrix umgewandelt. Die Lösung des Gleichungssystems wird dann durch Rückwärts substitution gefunden.
Wie funktioniert die H-Methode?
Zuerst wird die Matrix der Gleichungen in eine obere Dreiecksmatrix umgewandelt. Dies geschieht, in dem man jede Zeile so manipuliert, dass die erste Nicht-Null-Zahl unter der Diagonalen Null wird. Dies kann man tun, in dem man die erste Nicht-Null-Zahl mit der ersten Nicht-Null-Zahl auf der Diagonalen multipliziert und dann von der entsprechenden Zahl in der nächsten Zeile subtrahiert. Dies wiederholt man für alle Nicht-Null-Zahlen unter der Diagonalen. Die erste Nicht-Null-Zahl auf der Diagonalen wird dabei zur Eins.
Anschließend löst man das Gleichungssystem durch Rückwärts substitution. Dabei setzt man zuerst die letzte Variable in das letzte Gleichung. Dann setzt man die penultimate Variable in die penultimate Gleichung und so weiter, bis man zur ersten Gleichung und Variable gelangt. Dabei beachtet man, dass sich die Werte der Variablen in den Gleichungen bereits geändert haben.
Beispiel
Gegeben sei das folgende Gleichungssystem:
2x1+4x2=6
-3x1+x2=5
Zuerst wandeln wir die Matrix der Gleichungen in eine obere Dreiecksmatrix um. Dafür multiplizieren wir die erste Nicht-Null-Zahl unter der Diagonalen (hier -3) mit der ersten Nicht-Null-Zahl auf der Diagonalen (hier 2) und subtrahieren die entsprechende Zahl in der nächsten Zeile (-6). Dabei beachten wir, dass sich die erste Nicht-Null-Zahl auf der Diagonalen (hier 2) zur Eins ändert. Wir erhalten:
2x1+4x2=6
0x1+10x2=11
Anschließend lösen wir das Gleichungssystem durch Rückwärts substitution. Dafür setzen wir zuerst die letzte Variable (x2) in die letzte Gleichung ein. Wir erhalten:
x2=1,1
Dann setzen wir die penultimate Variable (x1) in die penultimate Gleichung ein. Wir beachten, dass sich die Werte der Variablen in den Gleichungen geändert haben. Wir erhalten:
