Injektiv, Surjektiv und Bijektiv Aufgaben mit Lösungen
Was ist eine Funktion?
Eine Funktion ist ein bestimmter mathematischer Aufbau, der jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zuordnet. Die Menge, aus der die Elemente stammen, nennt man die Definition der Funktion, während die Menge, in die die Elemente eingetragen werden, die Wertemenge ist. Eine Funktion wird also durch zwei Mengen und eine Zuordnung definiert. Die Funktion wird mit dem Buchstaben f bezeichnet, die Definition mit D(f) und die Wertemenge mit W(f).
Beispiele:
Sei die Menge der natürlichen Zahlen N={0,1,2,…,9,10,…} die Definition und die Menge der geraden Zahlen G={0,2,4,…,8,10,…} die Wertemenge. Die Funktion f, die jeder natürlichen Zahl die jeweils nächstliegende gerade Zahl zuordnet, wird durch folgende Tabelle definiert:
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
…
G
0
2
2
4
4
6
6
8
8
10
10
12
12
…
Sei A die Menge der Vornamen aller Schüler einer bestimmten Klasse und B die Menge der Farben. Die Funktion f, die jedem Vornamen die Farbe Gelb zuordnet, ist durch folgende Tabelle definiert:
A
Peter
Paul
Maria
…
B
Gelb
Gelb
Gelb
…
Wie kann man eine Funktion grapich darstellen?
Eine Funktion kann man auch grapich darstellen. Dazu nimmt man die Definition als x-Achse und die Wertemenge als y-Achse. Jedes Element der Definition wird nun mit dem entsprechenden Element der Wertemenge verbunden. In unserem ersten Beispiel würde das so aussehen:
In unserem zweiten Beispiel würde es so aussehen:
Was ist eine Injektive Funktion?
Eine Injektive Funktion ist eine Funktion, bei der keine zwei unterschiedlichen Elemente der Definition das selbe Element der Wertemenge zugeordnet werden. In unserem ersten Beispiel ist f(x) injektiv, da jedem natürlichen Zahlen immer die nächstliegende natürliche Zahl zugeordnet wird. In unserem zweiten Beispiel ist f(x) nicht injektiv, da jedem Vornamen die Farbe Gelb zugeordnet wird.
Was ist eine Surjektive Funktion?
Eine Surjektive Funktion ist eine Funktion, bei der jedes Element der Wertemenge das Ergebnis eines Elements der Definition ist. In unserem ersten Beispiel ist f(x) surjektiv, da jede gerade natürliche Zahl das Ergebnis einer natürlichen Zahl ist. In unserem zweiten Beispiel ist f(x) nicht surjektiv, da es Farben gibt, die nicht das Ergebnis eines Vornamens sind.
Was ist eine Bijektive Funktion?
Eine Bijektive Funktion ist eine Funktion, die gleichzeitig injektiv und surjektiv ist. In unserem ersten Beispiel ist f(x) bijektiv, da jede gerade natürliche Zahl das Ergebnis einer natürlichen Zahl ist und keine zwei unterschiedlichen Elemente der Definition das selbe Element der Wertemenge zugeordnet werden.
Was ist eine inverse Funktion?
Eine inverse Funktion ist eine Funktion, die einer gegebenen Funktion f(x) den Kehrwert zuordnet. Der Kehrwert einer Funktion ist die Funktion, die jedem Wert der Wertemenge der Funktion f(x) den entsprechenden Wert der Definition zuordnet. Eine inverse Funktion wird mit dem Buchstaben g bezeichnet. Eine Funktion f(x) ist invertierbar, wenn sie bijektiv ist.
Beispiel:
Sei f(x)={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} die Funktion und g(x)={(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)} die inverse Funktion. Dann ist g(x) die inverse Funktion von f(x).
f(x)
(1,2)
(2,3)
(3,4)
(4,5)
g(x)
(2,1)
(3,2)
(4,3)
(5,4)
Aufgaben:
1. Zeige, dass die Funktion f(x)= x2 +1 bijektiv ist.
2. Finde eine inverse Funktion zur Funktion f(x)=2x2-1
3. Finde eine inverse Funktion zur Funktion f(x)=3x2+4x-1
4. Finde eine inverse Funktion zur Funktion f(x)=5x2+6x+1
5. Finde eine inverse Funktion zur Funktion f(x)=x3-3x+1
Lösungen:
1. Die Funktion ist bijektiv, da sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
2. Die Funktion ist nicht invertierbar, da sie nicht bijektiv ist.
3. Die inverse Funktion zu f(x) ist g(x)= x3+4x2-1
4. Die inverse Funktion zu f(x) ist g(x)= x3+6x2+1
5. Die inverse Funktion zu f(x) ist g(x)= x3-3x2-1
