In der Mathematik und in der Physik stellt die Integration durch Substitution ein Verfahren zur Berechnung von Integralen dar. Die Idee hinter diesem Verfahren ist es, das Integral in ein anderes zu verwandeln, das leichter zu lösen ist. Dies wird dadurch erreicht, dass man eine Variable umsetzt, die das Integral in eine Summe von Produkten verwandelt. Die Integration durch Substitution ist ein sehr mächtiges und nützliches Verfahren, das häufig in der Mathematik und der Physik angewendet wird. In diesem Artikel werden wir uns mit den Grundlagen dieses Verfahrens befassen und einige Beispiele lösen.
Grundlagen der Integration durch Substitution
Bevor wir mit den Beispielen beginnen, müssen wir einige Grundlagen klären. Zunächst einmal müssen wir wissen, was ein Integral ist. Ein Integral ist ein mathematischer Ausdruck, der die Fläche unter einer Kurve darstellt. In der Regel sehen Integrale so aus:
Wenn wir das Integral lösen wollen, müssen wir den Ausdruck unter der Wurzel auswerten und dann die Grenzen einsetzen. In diesem Fall ist die Grenze a die x-Koordinate des Schnittpunktes der x-Achse und der Kurve und b ist die y-Koordinate des Schnittpunktes der y-Achse und der Kurve. In der Regel müssen wir aber nicht die Grenzen einsetzen, weil wir sie bereits kennen. Wenn wir das Integral lösen, erhalten wir die Fläche unter der Kurve.
Wenn wir das Integral oben lösen wollen, können wir es nicht direkt auswerten, weil wir nicht wissen, was f(x) ist. In diesem Fall müssen wir das Integral durch Substitution lösen. Die Integration durch Substitution ist ein Verfahren, mit dem wir eine Variable umsetzen können, um das Integral in ein anderes zu verwandeln, das wir leichter lösen können. Dies wird dadurch erreicht, dass wir eine Variable umsetzen, die das Integral in eine Summe von Produkten verwandelt. Die Integration durch Substitution ist ein sehr mächtiges und nützliches Verfahren, das häufig in der Mathematik und der Physik angewendet wird.
Wenn wir das Integral durch Substitution lösen wollen, müssen wir zwei Schritte ausführen:
Wir müssen eine geeignete Substitution wählen.
Wir müssen das Integral nach der Substitution lösen.
Im ersten Schritt müssen wir eine Substitution wählen, die das Integral in ein anderes verwandelt, das wir leichter lösen können. Es gibt keine richtige oder falsche Substitution, aber manchmal ist es schwierig, eine geeignete Substitution zu finden. Wenn wir eine Substitution wählen, müssen wir sicherstellen, dass wir das Integral nach der Substitution leichter lösen können. Wenn wir eine Substitution wählen, die das Integral nicht in ein anderes verwandelt, das wir leichter lösen können, haben wir keinen Fortschritt gemacht und müssen eine andere Substitution wählen.
Im zweiten Schritt müssen wir das Integral nach der Substitution lösen. Wenn wir eine Substitution wählen, die das Integral in ein anderes verwandelt, das wir leichter lösen können, können wir das Integral nach der Substitution lösen. Wenn wir das Integral nach der Substitution lösen, erhalten wir dasselbe Ergebnis wie vorher. In diesem Artikel werden wir uns einige Beispiele ansehen, um zu verstehen, wie das Verfahren der Integration durch Substitution funktioniert.
Beispiel 1
Betrachten wir das folgende Integral:
In diesem Fall ist f(x) = x2. Wir können das Integral nicht direkt auswerten, weil wir nicht wissen, was f(x) ist. In diesem Fall müssen wir das Integral durch Substitution lösen. Die erste Frage, die wir uns stellen müssen, ist, welche Substitution wir wählen sollen. Wir können verschiedene Substitutionen ausprobieren, um zu sehen, ob sie das Integral in ein anderes verwandeln, das wir leichter lösen können. Zum Beispiel können wir versuchen, u = x2 zu setzen. In diesem Fall ist du = 2x dx. Wenn wir u in das Integral setzen, erhalten wir:
Wir können sehen, dass wir das Integral in ein anderes verwandelt haben, das wir leichter lösen können. In diesem Fall ist f(u) = u und du = 2x dx. Wir können das Integral jetzt leicht auswerten und erhalten:
Wir können sehen, dass wir dasselbe Ergebnis erhalten haben, wenn wir das Integral direkt auswerten. In diesem Fall haben wir eine geeignete Substitution gewählt und das Integral erfolgreich gelöst.
Beispiel 2
Betrachten wir das folgende Integral:
In diesem Fall ist f(x) = x3. Wir können das Integral nicht direkt auswerten, weil wir nicht wissen, was f(x) ist. In diesem Fall müssen wir das Integral durch Substitution lösen. Die erste Frage, die wir uns stellen müssen, ist, welche Substitution wir wählen sollen. Wir können verschiedene Substitutionen ausprobieren, um zu sehen, ob sie das Integral in ein anderes verwandeln, das wir leichter lösen können. Zum Beispiel können wir versuchen, u = x3 zu setzen. In diesem Fall ist du = 3x2 dx. Wenn wir u in das Integral setzen, erhalten wir:
Wir können sehen, dass wir das Integral in ein anderes verwandelt haben, das wir leichter lösen können. In diesem Fall ist f(u) = u und du = 3x2 dx. Wir können das Integral jetzt leicht auswerten und erhalten:
Wir können sehen, dass wir dasselbe Ergebnis erhalten haben, wenn wir das Integral direkt auswerten. In diesem Fall haben wir eine geeignete Substitution gewählt und das Integral erfolgreich gelöst.
Beispiel 3
Betrachten wir das folgende Integral:
In diesem Fall ist f(x) = x4. Wir können das Integral nicht direkt auswerten, weil wir nicht wissen, was f(x) ist. In diesem Fall müssen wir das Integral durch Substitution lösen. Die erste Frage, die wir uns stellen müssen, ist, welche Substitution wir wählen sollen. Wir können verschiedene Substitutionen ausprobieren, um zu sehen, ob sie das Integral in ein anderes verwandeln, das wir leichter lösen können. Zum Beispiel können wir versuchen, u = x4 zu setzen. In diesem Fall ist du = 4x3 dx. Wenn wir u in das Integral setzen, erhalten wir:
Wir können sehen, dass wir das Integral in ein anderes verwandelt haben, das wir leichter lösen können. In diesem Fall ist f(u) = u und du = 4x3 dx. Wir können das Integral jetzt leicht auswerten und erhalten:
Wir können sehen, dass wir dasselbe Ergebnis erhalten haben, wenn wir das Integral direkt auswerten. In diesem Fall haben wir eine geeignete Substitution gewählt und das Integral erfolgreich gelöst.
Beispiel 4
Betrachten wir das folgende Integral:
In diesem Fall ist f(x) = x5. Wir können das Integral nicht direkt auswerten, weil wir nicht wissen, was f(x) ist. In diesem Fall müssen wir das Integral durch Substitution lösen. Die erste Frage, die wir uns stellen müssen, ist, welche Substitution wir wählen sollen. Wir können verschiedene Substitutionen ausprobieren, um zu sehen, ob sie das Integral in ein anderes verwandeln, das wir leichter lösen können. Zum Beispiel können wir versuchen, u = x5 zu setzen. In diesem Fall ist du = 5x4 dx. Wenn wir u in das Integral setzen, erhalten wir:
Wir können sehen, dass wir das Integral in ein anderes verwandelt haben, das wir leichter lösen können. In diesem Fall ist f(u) = u und du = 5x4 dx. Wir können das Integral jetzt leicht auswerten und erhalten:
Wir können sehen, dass wir dasselbe Ergebnis erhalten haben, wenn wir das Integral direkt auswerten. In diesem Fall haben wir eine geeignete Substitution gewählt und das Integral erfolgreich gelöst.
