Ein lineares Gleichungssystem ist ein System von zwei oder mehr linearen Gleichungen in zwei oder mehr Unbekannten. Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist ein Tupel von Werten, die alle Gleichungen des Systems erfüllen.
Beispiel:
Finde die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
2x + y = 5
x – 2y = -3
Lösung:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist (x, y) = (3, 4).
Lösungsansätze für lineare Gleichungssysteme
Graphenische Lösung
Eine graphentische Lösung eines linearen Gleichungssystems ist eine Möglichkeit, das System durch das Zeichnen der Graphen der linearen Gleichungen zu lösen. Die Schnittpunkte der Graphen geben die Lösung des linearen Gleichungssystems an.
Beispiel:
Finde die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
y = 2x – 1
y = -x + 2
Lösung:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist (x, y) = (1, 1).
Substitution
Eine Substitution ist ein Lösungsansatz für lineare Gleichungssysteme, bei dem man eine der Unbekannten in einer der Gleichungen durch die andere ersetzt. Die Substitution kann auf beide Gleichungen angewendet werden. Wenn man eine der Gleichungen so manipuliert, dass nur eine Unbekannte übrig bleibt, hat man eine Gleichung in einer Unbekannten und kann diese lösen.
Beispiel:
Finde die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
y = 2x – 1
y = -x + 2
Lösung:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist (x, y) = (1, 1).
Gleichsetzung
Bei der Gleichsetzung werden die Unbekannten auf beiden Seiten einer der Gleichungen gleichgesetzt und die Gleichungen manipuliert, bis auf einer Seite nur noch eine Unbekannte übrig ist. Diese Gleichung kann dann gelöst werden.
Beispiel:
Finde die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
3x + 2y = 11
4x – 3y = -2
Lösung:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist (x, y) = (1, 2).
Matrizen
Eine weitere Möglichkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen, ist die Verwendung von Matrizen. Bei diesem Lösungsansatz wird das lineare Gleichungssystem in eine Matrix-Gleichung umgewandelt und dann nach einer der Unbekannten gelöst.
Beispiel:
Finde die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
3x + 2y = 11
4x – 3y = -2
Lösung:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist (x, y) = (1, 2).
Grundlagen der linearen Algebra
Die lineare Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit linearen Gleichungssystemen beschäftigt. Die lineare Algebra bietet eine Reihe von Werkzeugen, die bei der Lösung linearer Gleichungssysteme hilfreich sind. Einige der Grundlagen der linearen Algebra, die bei der Lösung linearer Gleichungssysteme nützlich sein können, sind die folgenden:
Determinanten
Inverse Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren
Aufgaben
Aufgabe 1
Finde die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
y = 3x – 5
y = -x + 2
Lösung:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist (x, y) = (-2, -1).
Aufgabe 2
Finde die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
4x – 5y = 12
y = 2x – 3
Lösung:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist (x, y) = (3, 5).
Aufgabe 3
Finde die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
2x + 3y = -4
5x – 4y = 3
Lösung:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist (x, y) = (-1, 2).
Aufgabe 4
Finde die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
3x – 4y = -11
6x – 8y = -22
Lösung:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist (x, y) = (2, 3).
Aufgabe 5
Finde die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
5x + 2y = 13
10x + 4y = 26
Lösung:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist (x, y) = (1, 2).
