Bei der Polynomdivision geht es darum, ein Polynom (also eine Summe von Termen mit ganzen Potenzen) durch ein anderes zu teilen.
Zunächst einmal ein paar allgemeine Regeln:
Wenn ein Term in einem Polynom einen höheren Exponenten hat als der Term in dem anderen Polynom, dann kann man diesen Term einfach weglassen.
Wenn der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom einen kleineren Exponenten hat als der Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom, dann kann man ihn einfach weglassen.
Ansonsten kann man die beiden Polynome so teilen, dass man den Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom durch den Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom teilt und dann den Rest des ersten Polynoms durch den zweiten Polynom teilt.
Zur Polynomdivision selbst gibt es einige Regeln, die man beachten muss:
Zuerst muss man den Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom durch den Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom teilen.
Dann muss man den Rest des ersten Polynoms durch den zweiten Polynom teilen.
Zum Schluss muss man den Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom von dem Teiler subtrahieren.
Das Ergebnis der Polynomdivision ist der Quotient und der Rest. Der Quotient ist der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom, der Rest ist der Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom.
Beispiel 1
Teile das Polynom x4+3x3-5x2+2x-1 durch x+1.
Zunächst einmal die allgemeinen Regeln:
Wenn ein Term in einem Polynom einen höheren Exponenten hat als der Term in dem anderen Polynom, dann kann man diesen Term einfach weglassen.
Wenn der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom einen kleineren Exponenten hat als der Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom, dann kann man ihn einfach weglassen.
Im ersten Polynom ist der Term mit dem höchsten Exponenten x4, im zweiten Polynom ist der Term mit dem höchsten Exponenten x. Da der Term im zweiten Polynom den höheren Exponenten hat, können wir den Term im ersten Polynom einfach weglassen.
Ansonsten kann man die beiden Polynome so teilen, dass man den Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom durch den Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom teilt und dann den Rest des ersten Polynoms durch den zweiten Polynom teilt.
Zur Polynomdivision selbst gibt es einige Regeln, die man beachten muss:
Zuerst muss man den Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom durch den Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom teilen.
Dann muss man den Rest des ersten Polynoms durch den zweiten Polynom teilen.
Zum Schluss muss man den Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom von dem Teiler subtrahieren.
Im ersten Polynom ist der Term mit dem höchsten Exponenten x4, im zweiten Polynom ist der Term mit dem höchsten Exponenten x. Wir teilen also den Term x4 durch x und erhalten den Quotienten x3. Der Rest ist 0.
Dann teilen wir den Rest des ersten Polynoms, also 3x3-5x2+2x-1, durch x+1 und erhalten den Quotienten 3x2-4x-1 und den Rest 0.
Zum Schluss subtrahieren wir den Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom, also x, von dem Teiler, also x+1. Wir erhalten den Term x-1.
Das Ergebnis der Polynomdivision ist der Quotient und der Rest. Der Quotient ist der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom, der Rest ist der Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom.
In diesem Fall ist der Quotient x3+3x2-4x-1 und der Rest 0.
Beispiel 2
Teile das Polynom 4x4-13x3+14x2+x-12 durch x2+3x-4.
Zunächst einmal die allgemeinen Regeln:
Wenn ein Term in einem Polynom einen höheren Exponenten hat als der Term in dem anderen Polynom, dann kann man diesen Term einfach weglassen.
Wenn der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom einen kleineren Exponenten hat als der Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom, dann kann man ihn einfach weglassen.
Im ersten Polynom ist der Term mit dem höchsten Exponenten 4x4, im zweiten Polynom ist der Term mit dem höchsten Exponenten x2. Wir teilen also den Term 4x4 durch x2 und erhalten den Quotienten 4x2. Der Rest ist 0.
Dann teilen wir den Rest des ersten Polynoms, also -13x3+14x2+x-12, durch x2+3x-4 und erhalten den Quotienten -13x+7-1/x2-3 und den Rest 0.
Zum Schluss subtrahieren wir den Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom, also x2, von dem Teiler, also x2+3x-4. Wir erhalten den Term -4.
Das Ergebnis der Polynomdivision ist der Quotient und der Rest. Der Quotient ist der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom, der Rest ist der Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom.
In diesem Fall ist der Quotient 4x2-13x+7-1/x2-3 und der Rest 0.
Beispiel 3
Teile das Polynom 9x4-5x3-2x2+8x+9 durch x2+x-6.
Zunächst einmal die allgemeinen Regeln:
Wenn ein Term in einem Polynom einen höheren Exponenten hat als der Term in dem anderen Polynom, dann kann man diesen Term einfach weglassen.
Wenn der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom einen kleineren Exponenten hat als der Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom, dann kann man ihn einfach weglassen.
Im ersten Polynom ist der Term mit dem höchsten Exponenten 9x4, im zweiten Polynom ist der Term mit dem höchsten Exponenten x2. Wir teilen also den Term 9x4 durch x2 und erhalten den Quotienten 9x2. Der Rest ist 0.
Dann teilen wir den Rest des ersten Polynoms, also -5x3-2x2+8x+9, durch x2+x-6 und erhalten den Quotienten -5x2-x+4+9/x2+x-6 und den Rest 0.
Zum Schluss subtrahieren wir den Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom, also x2, von dem Teiler, also x2+x-6. Wir erhalten den Term -6.
Das Ergebnis der Polynomdivision ist der Quotient und der Rest. Der Quotient ist der Term mit dem höchsten Exponenten im ersten Polynom, der Rest ist der Term mit dem höchsten Exponenten im zweiten Polynom.
In diesem Fall ist der Quotient 9x2-5x2-x+4+9/x2+x-6 und der Rest 0.
