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Schnittpunkt berechnen – Aufgaben
Einfache Tipps und Tricks zur richtigen Berechnung
In den meisten Fällen wird der Schnittpunkt zweier Geraden gesucht. Dieser kann auf unterschiedliche Arten berechnet werden. In diesem Artikel stellen wir Ihnen einige einfache Tipps und Tricks zur Berechnung des Schnittpunktes vor.
Gehen wir davon aus, dass wir zwei Geraden in einem dreidimensionalen Koordinatensystem haben. Dabei sei g die erste Gerade und h die zweite Gerade. Wir können nun den Schnittpunkt P der beiden Geraden berechnen.
Methode 1: Parametrische Schnittgeraden
Die erste Methode, um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu berechnen, nennt sich parametrische Schnittgeraden. Dabei wird eine Gerade als Punkt-Richtungs-Vektor-Paar dargestellt. Die erste Komponente eines Punkt-Richtungs-Vektors ist dabei ein Punkt auf der Geraden, die zweite Komponente ist die Richtungsvektor der Geraden. Sehen wir uns dies am Beispiel an:
Die erste Gerade g ist durch den Punkt A=(2|−3|5) und den Richtungsvektor v=(1|1|−2) gegeben. Die zweite Gerade h ist durch den Punkt B=(4|−1|3) und den Richtungsvektor w=(−1|2|1) gegeben. Wir können nun den Schnittpunkt P der beiden Geraden berechnen.
Berechnung des Schnittpunktes P:
Wir setzen den Punkt A der ersten Geraden gleich dem Punkt B der zweiten Geraden und erhalten so den Punkt P=(2|−3|5)=(4|−1|3). Nun berechnen wir den Richtungsvektor der Schnittgeraden s:
s = v × w = (1|1|−2) × (−1|2|1) = (1|1|−2) × (1|−1|2) = ((1·1)+(1·−1)+(−2·2))i+((1·1)+(1·2)+(−2·1))j+((1·−1)+(1·2)+(−2·1))k = (0+0+0)i+(2−3+0)j+(−3+4−4)k = (2|−3|−1)
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist also der Punkt P=(2|−3|5)=(4|−1|3) mit dem Richtungsvektor s=(2|−3|−1).
Methode 2: Symmetrische Schnittgeraden
Die zweite Methode, um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu berechnen, nennt sich symmetrische Schnittgeraden. Dabei wird eine Gerade als Punkt-Richtungs-Vektor-Paar dargestellt. Die erste Komponente eines Punkt-Richtungs-Vektors ist dabei ein Punkt auf der Geraden, die zweite Komponente ist die Richtungsvektor der Geraden. Sehen wir uns dies am Beispiel an:
Die erste Gerade g ist durch den Punkt A=(2|−3|5) und den Richtungsvektor v=(1|1|−2) gegeben. Die zweite Gerade h ist durch den Punkt B=(4|−1|3) und den Richtungsvektor w=(−1|2|1) gegeben. Wir können nun den Schnittpunkt P der beiden Geraden berechnen.
Berechnung des Schnittpunktes P:
Wir setzen den Punkt A der ersten Geraden gleich dem Punkt B der zweiten Geraden und erhalten so den Punkt P=(2|−3|5)=(4|−1|3). Nun berechnen wir den Richtungsvektor der Schnittgeraden s:
s = v × w = (1|1|−2) × (−1|2|1) = (1|1|−2) × (1|−1|2) = ((1·1)+(1·−1)+(−2·2))i+((1·1)+(1·2)+(−2·1))j+((1·−1)+(1·2)+(−2·1))k = (0+0+0)i+(2−3+0)j+(−3+4−4)k = (2|−3|−1)
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist also der Punkt P=(2|−3|5)=(4|−1|3) mit dem Richtungsvektor s=(2|−3|−1).
Methode 3: Koordinatenform
Die dritte Methode, um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu berechnen, nennt sich Koordinatenform. Dabei wird eine Gerade als Punkt-Richtungs-Vektor-Paar dargestellt. Die erste Komponente eines Punkt-Richtungs-Vektors ist dabei ein Punkt auf der Geraden, die zweite Komponente ist die Richtungsvektor der Geraden. Sehen wir uns dies am Beispiel an:
Die erste Gerade g ist durch den Punkt A=(2|−3|5) und den Richtungsvektor v=(1|1|−2) gegeben. Die zweite Gerade h ist durch den Punkt B=(4|−1|3) und den Richtungsvektor w=(−1|2|1) gegeben. Wir können nun den Schnittpunkt P der beiden Geraden berechnen.
Berechnung des Schnittpunktes P:
Wir setzen den Punkt A der ersten Geraden gleich dem Punkt B der zweiten Geraden und erhalten so den Punkt P=(2|−3|5)=(4|−1|3). Nun berechnen wir den Richtungsvektor der Schnittgeraden s:
s = v × w = (1|1|−2) × (−1|2|1) = (1|1|−2) × (1|−1|2) = ((1·1)+(1·−1)+(−2·2))i+((1·1)+(1·2)+(−2·1))j+((1·−1)+(1·2)+(−2·1))k = (0+0+0)i+(2−3+0)j+(−3+4−4)k = (2|−3|−1)
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist also der Punkt P=(2|−3|5)=(4|−1|3) mit dem Richtungsvektor s=(2|−3|−1).
Methode 4: Ebenengleichung
Die vierte Methode, um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu berechnen, nennt sich Ebenengleichung. Dabei wird eine Gerade als Punkt-Richtungs-Vektor-Paar dargestellt. Die erste Komponente eines Punkt-Richtungs-Vektors ist dabei ein Punkt auf der Geraden, die zweite Komponente ist die Richtungsvektor der Geraden. Sehen wir uns dies am Beispiel an:
Die erste Gerade g ist durch den Punkt A=(2|−3|5) und den Richtungsvektor v=(1|1|−2) gegeben. Die zweite Gerade h ist durch den Punkt B=(4|−1|3) und den Richtungsvektor w=(−1|2|1) gegeben. Wir können nun den Schnittpunkt P der beiden Geraden berechnen.
Berechnung des Schnittpunktes P:
Wir setzen den Punkt A der ersten Geraden gleich dem Punkt B der zweiten Geraden und erhalten so den Punkt P=(2|−3|5)=(4|−1|3). Nun berechnen wir den Richtungsvektor der Schnittgeraden s:
s = v × w = (1|1|−2) × (−1|2|1) = Schnittpunkt Berechnen – Öffnen (PDF) – Aufgaben
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