In diesem Artikel werden wir erklären, wie man Wendepunkte berechnet. Außerdem werden wir einige einfache Aufgaben mit Lösungen durchgehen.
Was sind Wendepunkte?
Wendepunkte sind Punkte auf einer Kurve, an denen sich die Richtung der Kurve ändert. In der Mathematik werden Wendepunkte als Extremstellen bezeichnet.
Es gibt zwei Arten von Wendepunkten:
Höchststellen (oder Maxima): Hier ändert sich die Richtung der Kurve von steigend nach fallend.
Tiefststellen (oder Minima): Hier ändert sich die Richtung der Kurve von fallend nach steigend.
Wendepunkte berechnen
Wendepunkte werden berechnet, indem man nach den Nullstellen des zweiten Ableitungsglieds sucht. Das zweite Ableitungsglied ist die ableitungsfähige Funktion der ersten Ableitung der Funktion.
Zur Berechnung der Wendepunkte wird die Funktion in ihre einzelnen Terme zerlegt. Dann wird nach den Wendepunkten gesucht, indem man nach den Stellen sucht, an denen sich die Richtung der Funktion ändert.
Beispiel
Betrachten wir die folgende Funktion:
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
Zuerst nehmen wir die erste Ableitung der Funktion:
f'(x) = 3x2 – 12x + 9
Dann nehmen wir die zweite Ableitung der Funktion:
f“(x) = 6x – 12
Die Wendepunkte der Funktion befinden sich an den Stellen, an denen sich die Richtung der Funktion ändert. Dies geschieht, wenn das zweite Ableitungsglied Null wird.
Also müssen wir nach den Nullstellen des zweiten Ableitungsglieds suchen. In diesem Fall ist das zweite Ableitungsglied:
f“(x) = 6x – 12
Das zweite Ableitungsglied ist eine lineare Funktion und kann leicht factorisiert werden. Wir erhalten:
f“(x) = (6x – 12)(x + 2)
Das zweite Ableitungsglied ist Null, wenn entweder das erste oder zweite Glied Null wird. Also sind die Wendepunkte der Funktion:
x = -2
x = 2
Aufgaben
Aufgabe 1
Betrachte die folgende Funktion:
f(x) = x4 – 2x2 + 1
Finde die Wendepunkte der Funktion.
Lösung
Zuerst nehmen wir die erste Ableitung der Funktion:
f'(x) = 4x3 – 4x
Dann nehmen wir die zweite Ableitung der Funktion:
f“(x) = 12x2 – 4
Das zweite Ableitungsglied ist Null, wenn:
12x2 – 4 = 0
Wir können diese Gleichung nach x umstellen und lösen:
x2 = 1/3
Die Nullstellen der Funktion sind:
x = -1/√3
x = 1/√3
Aufgabe 2
Betrachte die folgende Funktion:
f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1
Finde die Wendepunkte der Funktion.
Lösung
Zuerst nehmen wir die erste Ableitung der Funktion:
f'(x) = 3x2 – 6x + 3
Dann nehmen wir die zweite Ableitung der Funktion:
f“(x) = 6x – 6
Das zweite Ableitungsglied ist Null, wenn:
6x – 6 = 0
Wir können diese Gleichung nach x umstellen und lösen:
x = 1
Die Nullstelle der Funktion ist:
x = 1
Aufgabe 3
Betrachte die folgende Funktion:
f(x) = x5 – 10x3 + 9
Finde die Wendepunkte der Funktion.
Lösung
Zuerst nehmen wir die erste Ableitung der Funktion:
f'(x) = 5x4 – 30x2 + 9
Dann nehmen wir die zweite Ableitung der Funktion:
f“(x) = 20x3 – 60x
Das zweite Ableitungsglied ist Null, wenn:
20x3 – 60x = 0
Dies ist eine kubische Gleichung, die nicht so leicht zu lösen ist. Wir können jedoch eine Näherungslösung finden, indem wir die Nullstellen der Funktion graphisch suchen.
Die Nullstellen der Funktion sind ungefähr:
x = -1,5
x = 0
x = 1,5
Aufgabe 4
Betrachte die folgende Funktion:
f(x) = x4 + 4x2 + 1
Finde die Wendepunkte der Funktion.
Lösung
Zuerst nehmen wir die erste Ableitung der Funktion:
f'(x) = 4x3 + 8x
Dann nehmen wir die zweite Ableitung der Funktion:
f“(x) = 12x2 + 8
Das zweite Ableitungsglied ist Null, wenn:
12x2 + 8 = 0
Dies ist eine quadratische Gleichung, die relativ leicht zu lösen ist. Wir erhalten:
x = -2/√3
und
x = 2/√3
Die Nullstellen der Funktion sind:
x = -2/√3
x = 2/√3
Aufgabe 5
Betrachte die folgende Funktion:
f(x) = x5 + 5x3 + 6
Finde die Wendepunkte der Funktion.
Lösung
Zuerst nehmen wir die erste Ableitung der Funktion:
f'(x) = 5x4 + 15x2 + 6
Dann nehmen wir die zweite Ableitung der Funktion:
f“(x) = 20x3 + 30x
Das zweite Ableitungsglied ist Null, wenn:
20x3 + 30x = 0
Dies ist eine kubische Gleichung, die nicht so leicht zu lösen ist. Wir können jedoch eine Näherungslösung finden, indem wir die Nullstellen der Funktion graphisch suchen.
