Der Zentrale Grenzwertsatz – Einfache Aufgaben mit Lösungen
Was ist der Zentrale Grenzwertsatz?
Der Zentrale Grenzwertsatz ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, der besagt, dass die Verteilung einer Stichprobe aus einer beliebigen population im Grenzfall normalverteilt ist, unabhängig von der Verteilung der population selbst.
Dieser Satz ist besonders wichtig, weil er eine Grundlage für viele weitere Satze und Theoreme der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik bildet.
Wie kann man den Zentralen Grenzwertsatz beweisen?
Der Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes ist relativ komplex, aber im Grunde genommen basiert er auf dem Satz von de Moivre-Laplace, der besagt, dass die Verteilung einer Summe von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen normalverteilt ist.
Dieser Satz kann auf eine beliebige population angewendet werden, wenn man sie als Summe von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen betrachtet. In der Praxis ist es aber oft schwierig, eine population als solche zu betrachten, daher ist der Zentrale Grenzwertsatz eine sehr nützliche approximation.
Welche Aussagen kann man mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes treffen?
Der Zentrale Grenzwertsatz ermöglicht es uns, Aussagen über populationen zu treffen, indem wir nur eine Stichprobe aus dieser population betrachten.
So können wir zum Beispiel sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter Wert in einer population vorkommt, wenn wir nur eine Stichprobe aus dieser population betrachten.
Beispielaufgabe
Stell dir eine population von Menschen vor, die zufällig ausgewählt wurden. In dieser population gibt es genau 100 Menschen, von denen 60 weiblich und 40 männlich sind. Wir wählen nun zufällig 10 Menschen aus dieser population aus und bestimmen das Geschlecht dieser 10 Personen.
Welche Wahrscheinlichkeit haben wir, dass unter den 10 Personen mindestens 2 männlich sind?
Dies ist eine klassische Aufgabe, die mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes gelöst werden kann.
Wir betrachten die population als Summe von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen. In diesem Fall ist jede Person eine solche Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person männlich ist, beträgt 0,4, die Wahrscheinlichkeit, dass sie weiblich ist, beträgt 0,6.
Wir wissen, dass die Summe von 10 unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen normalverteilt ist. Die Erwartungswert der Summe ist also 10mal der Erwartungswert einer einzelnen Variablen, also 10mal 0,4=4.
Die Varianz der Summe ist die Summe der Varianzen der einzelnen Variablen, also 10mal 0,4*0,6=2,4.
Die Standardabweichung der Summe ist die Quadratwurzel aus der Varianz, also Quadratwurzel(2,4)=1,5.
Wir wissen also, dass die Summe der Geschlechter der 10 Personen normalverteilt ist mit Erwartungswert 4 und Standardabweichung 1,5.
Wir suchen nun die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe mindestens 2 ist. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen männlich sind.
Wir können diese Wahrscheinlichkeit berechnen, indem wir zunächst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau 2 Personen männlich sind. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung mit n=10 und p=0,4.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen männlich sind, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für genau 2, genau 3, genau 4, …, genau 10 männliche Personen.
Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung mit n=10 und p=1-0,6=0,4.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen männlich sind, ist also die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung mit n=10 und p=0,4.
Wir können diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe einer Tabelle der Binomialverteilung berechnen oder mit Hilfe eines Taschenrechners.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen männlich sind, beträgt mit Hilfe der Tabelle der Binomialverteilung etwa 0,65 oder mit Hilfe des Taschenrechners etwa 0,64.
Aufgaben
1. Stell dir eine population von Menschen vor, die zufällig ausgewählt wurden. In dieser population gibt es genau 100 Menschen, von denen 60 weiblich und 40 männlich sind. Wir wählen nun zufällig 10 Menschen aus dieser population aus und bestimmen das Geschlecht dieser 10 Personen.
Welche Wahrscheinlichkeit haben wir, dass unter den 10 Personen mindestens 3 männlich sind?
2. Stell dir eine population von Menschen vor, die zufällig ausgewählt wurden. In dieser population gibt es genau 100 Menschen, von denen 60 weiblich und 40 männlich sind. Wir wählen nun zufällig 10 Menschen aus dieser population aus und bestimmen das Geschlecht dieser 10 Personen.
Welche Wahrscheinlichkeit haben wir, dass unter den 10 Personen mindestens 4 männlich sind?
3. Stell dir eine population von Menschen vor, die zufällig ausgewählt wurden. In dieser population gibt es genau 100 Menschen, von denen 60 weiblich und 40 männlich sind. Wir wählen nun zufällig 10 Menschen aus dieser population aus und bestimmen das Geschlecht dieser 10 Personen.
Welche Wahrscheinlichkeit haben wir, dass unter den 10 Personen mindestens 5 männlich sind?
4. Stell dir eine population von Menschen vor, die zufällig ausgewählt wurden. In dieser population gibt es genau 100 Menschen, von denen 60 weiblich und 40 männlich sind. Wir wählen nun zufällig 10 Menschen aus dieser population aus und bestimmen das Geschlecht dieser 10 Personen.
Welche Wahrscheinlichkeit haben wir, dass unter den 10 Personen mindestens 6 männlich sind?
5. Stell dir eine population von Menschen vor, die zufällig ausgewählt wurden. In dieser population gibt es genau 100 Menschen, von denen 60 weiblich und 40 männlich sind. Wir wählen nun zufällig 10 Menschen aus dieser population aus und bestimmen das Geschlecht dieser 10 Personen.
Welche Wahrscheinlichkeit haben wir, dass unter den 10 Personen mindestens 7 männlich sind?
Lösungen
1. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Personen männlich sind, beträgt mit Hilfe der Tabelle der Binomialverteilung etwa 0,36 oder mit Hilfe des Taschenrechners etwa 0,35.
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 4 Personen männlich sind, beträgt mit Hilfe der Tabelle der Binomialverteilung etwa 0,14 oder mit Hilfe des Taschenrechners etwa 0,13.
3. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 Personen männlich sind, beträgt mit Hilfe der Tabelle der Binomialverteilung etwa 0,04 oder mit Hilfe des Taschenrechners etwa 0,03.
4. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 6 Personen männlich sind, beträgt mit Hilfe der Tabelle der Binomialverteilung etwa 0,01 oder mit Hilfe des Taschenrechners etwa 0,007.
5. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 7 Personen männlich sind, beträgt mit Hilfe der Tabelle der Binomialverteilung etwa 0,002 oder mit Hilfe des Taschenrechners etwa 0,002.
