Eine Extremwertaufgabe ist ein mathematischer Ausdruck, der ein Maximum oder Minimum an einer gegebenen Stelle findet. Die meisten Extremwertaufgaben sind nicht lineare, sondern quadratische oder kubische Gleichungen. Extremwertaufgaben können in verschiedenen Feldern der Mathematik, der Physik und der Ingenieurwissenschaften auftreten.
Wie man Extremwertaufgaben löst
Zuerst müssen Sie die Ableitung der Funktion nehmen. Dann setzen Sie die Ableitung gleich Null und lösen die Gleichung nach x auf. Die x-Werte, die Sie finden, sind die Stellen, an denen sich das Maximum oder Minimum der Funktion befindet. Zum Beispiel:
F(x) = x2 – 3x + 2
F'(x) = 2x – 3
F'(x) = 0
2x – 3 = 0
2x = 3
x = 1,5
Der x-Wert, den Sie finden, ist der Ort, an dem sich das Maximum oder Minimum der Funktion befindet. In diesem Fall ist x = 1,5 der Ort, an dem sich das Minimum der Funktion befindet.
Beispiele für Extremwertaufgaben
Finde das Maximum oder Minimum der folgenden Funktionen:
F(x) = x2 – 6x + 8
F(x) = -2x2 + 12x – 20
F(x) = 4x3 – 27x2 + 54x – 36
Lösungen
F(x) = x2 – 6x + 8
F'(x) = 2x – 6
F'(x) = 0
2x – 6 = 0
2x = 6
x = 3
Der x-Wert, den Sie finden, ist der Ort, an dem sich das Maximum oder Minimum der Funktion befindet. In diesem Fall ist x = 3 der Ort, an dem sich das Minimum der Funktion befindet.
F(x) = -2x2 + 12x – 20
F'(x) = -4x + 12
F'(x) = 0
-4x + 12 = 0
-4x = -12
x = 3
Der x-Wert, den Sie finden, ist der Ort, an dem sich das Maximum oder Minimum der Funktion befindet. In diesem Fall ist x = 3 der Ort, an dem sich das Maximum der Funktion befindet.
F(x) = 4x3 – 27x2 + 54x – 36
F'(x) = 12x2 – 54x + 54
F'(x) = 0
12x2 – 54x + 54 = 0
12x2 – 54x + 36 = 18
12x2 – 54x + 36 = 0
x = 3
Der x-Wert, den Sie finden, ist der Ort, an dem sich das Maximum oder Minimum der Funktion befindet. In diesem Fall ist x = 3 der Ort, an dem sich das Minimum der Funktion befindet.
Aufgaben
1. Finde das Maximum oder Minimum der folgenden Funktion:
F(x) = 2x2 – 12x + 16
Lösung:
F(x) = 2x2 – 12x + 16
F'(x) = 4x – 12
F'(x) = 0
4x – 12 = 0
4x = 12
x = 3
Der x-Wert, den Sie finden, ist der Ort, an dem sich das Maximum oder Minimum der Funktion befindet. In diesem Fall ist x = 3 der Ort, an dem sich das Minimum der Funktion befindet.
2. Finde das Maximum oder Minimum der folgenden Funktion:
F(x) = -4x2 + 24x – 36
Lösung:
F(x) = -4x2 + 24x – 36
F'(x) = -8x + 24
F'(x) = 0
-8x + 24 = 0
-8x = -24
x = 3
Der x-Wert, den Sie finden, ist der Ort, an dem sich das Maximum oder Minimum der Funktion befindet. In diesem Fall ist x = 3 der Ort, an dem sich das Maximum der Funktion befindet.
3. Finde das Maximum oder Minimum der folgenden Funktion:
F(x) = 8x3 – 48x2 + 96x – 64
Lösung:
F(x) = 8x3 – 48x2 + 96x – 64
F'(x) = 24x2 – 96x + 96
F'(x) = 0
24x2 – 96x + 96 = 0
24x2 – 96x + 72 = 24
24x2 – 96x + 72 = 0
x = 3
Der x-Wert, den Sie finden, ist der Ort, an dem sich das Maximum oder Minimum der Funktion befindet. In diesem Fall ist x = 3 der Ort, an dem sich das Minimum der Funktion befindet.
4. Finde das Maximum oder Minimum der folgenden Funktion:
F(x) = -x4 + 16x2 – 64
Lösung:
F(x) = -x4 + 16x2 – 64
F'(x) = -4x3 + 32x
F'(x) = 0
-4x3 + 32x = 0
-4x3 + 32x – 32 = -32
-4x3 + 32x – 32 = 0
x = 3
Der x-Wert, den Sie finden, ist der Ort, an dem sich das Maximum oder Minimum der Funktion befindet. In diesem Fall ist x = 3 der Ort, an dem sich das Maximum der Funktion befindet.
5. Finde das Maximum oder Minimum der folgenden Funktion:
F(x) = x5 – 10x3 + 21x
Lösung:
F(x) = x5 – 10x3 + 21x
F'(x) = 5x4 – 30x2 + 21
F'(x) = 0
5x4 – 30x2 + 21 = 0
5x4 – 30x2 + 1 = 20
5x4 – 30x2 + 1 = 0
x = 3
Der x-Wert, den Sie finden, ist der Ort, an dem sich das Maximum oder Minimum der Funktion befindet. In diesem Fall ist x = 3 der Ort, an dem sich das Minimum der Funktion befindet.
