Lösungen für Inverse Matrix-Aufgaben – Eine Anleitung zur Berechnung
Es gibt verschiedene Arten von Aufgaben, die mit Inversen Matrizen zu tun haben. Einige davon sind einfacher als andere, aber alle können mit ein paar einfachen Tricks gelöst werden. Hier sind einige Beispiele für Aufgaben, die man mit Inversen Matrizen lösen kann, sowie einige Tipps und Tricks, wie man sie lösen kann.
Beispiel 1: Eine einfache lineare Gleichung mit einer Inversen Matrix
Betrachten wir zunächst die einfachste Art von Aufgabe, die man mit einer Inversen Matrix lösen kann: eine lineare Gleichung mit zwei Variablen. Wir können diese Gleichung so schreiben:
Ax = b
In dieser Gleichung ist A eine n x n-Matrix (für eine 2 x 2-Matrix A wäre n = 2), x ist eine n-stellige Variable und b ist eine n-stellige Konstante. Wir können diese Gleichung lösen, indem wir beides auf eine Seite der Gleichung bringen und dann die Inverse Matrix von A auf beides anwenden.
Also lassen Sie uns diese Gleichung lösen:
Ax = b
Wir bringen alles auf eine Seite der Gleichung:
Ax – b = 0
Jetzt wenden wir die Inverse Matrix von A auf beides an:
A-1Ax – A-1b = A-10
Wir können die Inverse Matrix von A auf beides anwenden, weil die Inverse Matrix die gleiche Wirkung hat wie das Multiplizieren mit der regulären Matrix. Wir können auch die reguläre Matrix auf beides anwenden, aber das wird uns nicht weiterhelfen, weil wir dann wieder die Gleichung Ax = b haben.
Wir können die Inverse Matrix auf beides anwenden, weil sie die gleiche Wirkung hat wie das Multiplizieren mit der regulären Matrix. Wir können auch die reguläre Matrix auf beides anwenden, aber das wird uns nicht weiterhelfen, weil wir dann wieder die Gleichung Ax = b haben.
Also, nachdem wir die Inverse Matrix von A auf beides angewendet haben, haben wir:
x = A-1b
Das ist die Lösung für die Gleichung. Alles, was wir tun müssen, ist, die Inverse Matrix von A zu berechnen und dann b damit zu multiplizieren.
Beispiel 2: Eine lineare Gleichung mit drei Variablen
Betrachten wir als nächstes eine lineare Gleichung mit drei Variablen:
Ax = b
In dieser Gleichung ist A eine n x n-Matrix (für eine 3 x 3-Matrix A wäre n = 3), x ist eine n-stellige Variable und b ist eine n-stellige Konstante. Wir können diese Gleichung lösen, indem wir zuerst die Inverse Matrix von A berechnen und sie dann auf beides anwenden.
Also lassen Sie uns diese Gleichung lösen:
Ax = b
Wir bringen alles auf eine Seite der Gleichung:
Ax – b = 0
Jetzt wenden wir die Inverse Matrix von A auf beides an:
A-1Ax – A-1b = A-10
Wir können die Inverse Matrix von A auf beides anwenden, weil sie die gleiche Wirkung hat wie das Multiplizieren mit der regulären Matrix. Wir können auch die reguläre Matrix auf beides anwenden, aber das wird uns nicht weiterhelfen, weil wir dann wieder die Gleichung Ax = b haben.
Also, nachdem wir die Inverse Matrix von A auf beides angewendet haben, haben wir:
x = A-1b
Das ist die Lösung für die Gleichung. Alles, was wir tun müssen, ist, die Inverse Matrix von A zu berechnen und dann b damit zu multiplizieren.
Beispiel 3: Eine nichtlineare Gleichung mit zwei Variablen
Betrachten wir als nächstes eine nichtlineare Gleichung mit zwei Variablen:
Ax2 + bx + c = 0
In dieser Gleichung ist A eine n x n-Matrix (für eine 2 x 2-Matrix A wäre n = 2), x ist eine n-stellige Variable und b und c sind n-stellige Konstanten. Wir können diese Gleichung nicht so lösen wie die vorherigen, indem wir einfach die Inverse Matrix von A auf beides anwenden. Stattdessen müssen wir die Quadratwurzel aus der Gleichung nehmen und dann die Inverse Matrix auf beides anwenden.
Also lassen Sie uns diese Gleichung lösen:
√Ax2 + bx + c = √0
Wir bringen alles auf eine Seite der Gleichung:
Ax2 + bx + c – √0 = 0
Jetzt wenden wir die Inverse Matrix von A auf beides an:
A-1Ax2 + A-1bx – A-1√0 = A-10
Wir können die Inverse Matrix von A auf beides anwenden, weil sie die gleiche Wirkung hat wie das Multiplizieren mit der regulären Matrix. Wir können auch die reguläre Matrix auf beides anwenden, aber das wird uns nicht weiterhelfen, weil wir dann wieder die Gleichung Ax2 + bx + c = 0 haben.
Also, nachdem wir die Inverse Matrix von A auf beides angewendet haben, haben wir:
x = A-1(b ± √b2 – 4ac)
Das ist die Lösung für die Gleichung. Alles, was wir tun müssen, ist, die Inverse Matrix von A zu berechnen und dann b und c damit zu multiplizieren.
Beispiel 4: Eine nichtlineare Gleichung mit drei Variablen
Betrachten wir als nächstes eine nichtlineare Gleichung mit drei Variablen:
Ax3 + bx2 + cx + d = 0
In dieser Gleichung ist A eine n x n-Matrix (für eine 3 x 3-Matrix A wäre n = 3), x ist eine n-stellige Variable und b, c und d sind n-stellige Konstanten. Wir können diese Gleichung nicht so lösen wie die vorherigen, indem wir einfach die Inverse Matrix von A auf beides anwenden. Stattdessen müssen wir die Quadratwurzel aus der Gleichung nehmen und dann die Inverse Matrix auf beides anwenden.
Also lassen Sie uns diese Gleichung lösen:
√Ax3 + bx2 + cx + d = √0
Wir bringen alles auf eine Seite der Gleichung:
Ax3 + bx2 + cx + d – √0 = 0
Jetzt wenden wir die Inverse Matrix von A auf beides an:
A-1Ax3 + A-1bx2 + A-1cx – A-1√0 = A-10
Wir können die Inverse Matrix von A auf beides anwenden, weil sie die gleiche Wirkung hat wie das Multiplizieren mit der regulären Matrix. Wir können auch die reguläre Matrix auf beides anwenden, aber das wird uns nicht weiterhelfen, weil wir dann wieder die Gleichung Ax3 + bx2 + cx + d = 0 haben.
Also, nachdem wir die Inverse Matrix von A auf beides angewendet haben, haben wir:
