Konvergenzradius: Lösungen und Aufgaben für ein besseres Verständnis
Der Konvergenzradius ist ein wichtiger Begriff in der Mathematik. Er beschreibt, wie schnell eine Reihe von Zahlen auf einen gemeinsamen Wert konvergiert. Je größer der Konvergenzradius, desto langsamer konvergiert die Reihe. Um den Konvergenzradius zu berechnen, muss man zuerst die Reihe in eine Potenzreihe umwandeln. Dazu nimmt man jede Zahl der Reihe und potenziert sie mit dem Konvergenzradius. Diese Operation wird für alle Zahlen der Reihe durchgeführt. Die Summe aller so erhaltenen Zahlen ist der Konvergenzradius.
Beispiel: Gegeben ist die Reihe: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10 Um die Reihe in eine Potenzreihe umzuwandeln, wird jede Zahl der Reihe mit dem Konvergenzradius potenziert. In diesem Fall ist der Konvergenzradius 2. Die erste Zahl der Reihe wird also zur zweiten Potenz erhoben, die zweite Zahl der Reihe wird zur vierten Potenz erhoben usw. 1 → 12 = 1 1/2 → (1/2)2 = 1/4 1/3 → (1/3)2 = 1/9 1/4 → (1/4)2 = 1/16 1/5 → (1/5)2 = 1/25 1/6 → (1/6)2 = 1/36 1/7 → (1/7)2 = 1/49 1/8 → (1/8)2 = 1/64 1/9 → (1/9)2 = 1/81 1/10 → (1/10)2 = 1/100 Die Summe aller Zahlen ist 1,64. Der Konvergenzradius der Reihe ist also 2.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Reihe: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10 Berechne den Konvergenzradius der Reihe.
Lösung
Der Konvergenzradius der Reihe ist 2.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Reihe: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, 1/512, 1/1024 Berechne den Konvergenzradius der Reihe.
Lösung
Der Konvergenzradius der Reihe ist 1/2.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Reihe: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 Berechne den Konvergenzradius der Reihe.
Lösung
Der Konvergenzradius der Reihe ist 1/2.
Aufgabe 4
Gegeben ist die Reihe: 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256 Berechne den Konvergenzradius der Reihe.
Lösung
Der Konvergenzradius der Reihe ist 1.
Aufgabe 5
Gegeben ist die Reihe: 1/10, 1/100, 1/1000, 1/10000, 1/100000, 1/1000000, 1/10000000, 1/100000000, 1/1000000000, 1/10000000000 Berechne den Konvergenzradius der Reihe.
