Lösung von Kurvendiskussion Aufgaben für Gebrochene Rationale Funktionen
In diesem Artikel werden die Grundlagen der Lösung von Kurvendiskussion Aufgaben für gebrochene rationale Funktionen erläutert. Als Beispiel dienen die Aufgaben 1-5 aus dem Abschnitt „Kurvendiskussion“ des Lehrbuchs „Differential- und Integralrechnung 1“ von Wittwer/Glockner/Borchardt (Ausgabe 2004, S. 474-475).
Die Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion $f$ mit dem Punkt $a$ als Knotenpunkt läuft wie folgt ab:
Beachten Sie, dass $f$ in $a$ einen Sprung hat. Berechnen Sie den Sprunghöhe $Delta f(a) = f(a+)-f(a-)$.
Bestimmen Sie den Hauptschnitt $f(a+)f(a-)$. Daraus erhalten Sie die Vorzeichen der Funktion $f$ links und rechts von $a$.
Bestimmen Sie die Funktion $g$, die $f$ auf den beiden Intervallen $[a-varepsilon,a]$ und $[a,a+varepsilon]$ entspricht. Beachten Sie, dass $g$ auf dem ersten Intervall steigend und auf dem zweiten Intervall fallend ist.
Bestimmen Sie den Schnitt $g(a-varepsilon)g(a)$ und den Schnitt $g(a)g(a+varepsilon)$.
Falls $g(a-varepsilon)g(a)<0$ gilt, ist $f$ auf dem Intervall $[a-varepsilon,a]$ monoton fallend, sonst ist sie auf diesem Intervall monoton steigend.
Falls $g(a)g(a+varepsilon)<0$ gilt, ist $f$ auf dem Intervall $[a,a+varepsilon]$ monoton steigend, sonst ist sie auf diesem Intervall monoton fallend.
In den Aufgaben 1-5 soll jeweils angegeben werden, ob die Funktion monoton steigend oder fallend ist. Wenn die Funktion auf einem der beiden Intervalle nicht monoton ist, soll dies mit „nicht monoton“ angegeben werden. Zusätzlich wird in diesen Aufgaben immer gefragt, wie sich die Funktion in $a$ verhält. Diese Angabe ist nur dann sinnvoll, wenn die Funktion auf beiden Seiten von $a$ monoton ist.
Aufgabe 1
Sei $f$ die gebrochene rationale Funktion, die für alle $xneq 1$ durch die Formel $f(x)=frac{x-1}{x+1}$ gegeben ist. Wir betrachten die Kurvendiskussion der Funktion $f$ im Punkt $a=1$.
a) Sprunghöhe Berechnen Sie die Sprunghöhe $Delta f(1)$.
Lösung: Die Sprunghöhe ist $Delta f(1)=f(1+)-f(1-)=frac{1+1}{1+1}-frac{1-1}{1-1}=frac{2}{2}-frac{2}{2}=0$.
b) Vorzeichen Bestimmen Sie den Schnitt $f(1+)f(1-)$.
Lösung: Der Schnitt ist $f(1+)f(1-)=frac{1+1}{1+1}cdotfrac{1-1}{1-1}=frac{2}{2}cdotfrac{2}{2}=1$.
c) Schnitte Geben Sie für $g$ die Funktion an, die auf den beiden Intervallen $[1-varepsilon,1]$ und $[1,1+varepsilon]$ entspricht.
Lösung: Die Funktion $g$ ist für alle $xin[1-varepsilon,1]$ und für alle $xin[1,1+varepsilon]$ durch die Formel $g(x)=frac{x-1}{x+1}$ gegeben.
d) Schnitte Bestimmen Sie den Schnitt $g(1-varepsilon)g(1)$ und den Schnitt $g(1)g(1+varepsilon)$.
Lösung: Der Schnitt $g(1-varepsilon)g(1)$ ist $frac{1-1-varepsilon}{1+1}cdotfrac{1-1}{1+1}=frac{-2varepsilon}{2}cdotfrac{2}{2}=-varepsilon$. Der Schnitt $g(1)g(1+varepsilon)$ ist $frac{1-1}{1+1}cdotfrac{1-1+varepsilon}{1+1}=frac{-2}{2}cdotfrac{2+varepsilon}{2}=-1-frac{varepsilon}{2}$.
e) Monotonie Falls $g(1-varepsilon)g(1)<0$ gilt, ist $f$ auf dem Intervall $[1-varepsilon,1]$ monoton fallend, sonst ist sie auf diesem Intervall monoton steigend.
Lösung: Auf dem Intervall $[1-varepsilon,1]$ ist die Funktion $f$ monoton fallend.
f) Monotonie Falls $g(1)g(1+varepsilon)<0$ gilt, ist $f$ auf dem Intervall $[1,1+varepsilon]$ monoton steigend, sonst ist sie auf diesem Intervall monoton fallend.
Lösung: Auf dem Intervall $[1,1+varepsilon]$ ist die Funktion $f$ monoton steigend.
g) Kurvendiskussion Führen Sie die Kurvendiskussion der Funktion $f$ im Punkt $a=1$ durch und geben Sie an, wie sich die Funktion in $1$ verhält.
Lösung: Die Funktion $f$ ist auf dem gesamten Intervall $[1-varepsilon,1+varepsilon]$ monoton steigend. In $1$ ist sie stetig.
Aufgabe 2
Sei $f$ die gebrochene rationale Funktion, die für alle $xneq -1$ durch die Formel $f(x)=frac{x+1}{x-1}$ gegeben ist.
a) Sprunghöhe Berechnen Sie die Sprunghöhe $Delta f(-1)$.
Lösung: Die Sprunghöhe ist $Delta f(-1)=f(-1+)-f(-1-)=frac{-1+1}{-1+1}-frac{-1-1}{-1-1}=frac{2}{2}-frac{2}{2}=0$.
b) Vorzeichen Bestimmen Sie den Schnitt $f(-1+)f(-1-)$.
Lösung: Der Schnitt ist $f(-1+)f(-1-)=frac{-1+1}{-1+1}cdotfrac{-1-1}{-1-1}=frac{2}{2}cdotfrac{2}{2}=1$.
c) Schnitte Geben Sie für $g$ die Funktion an, die auf den beiden Intervallen $[-1-varepsilon,-1]$ und $[-1,1-varepsilon]$ entspricht.
Lösung: Die Funktion $g$ ist für alle $xin[-1-varepsilon,-1]$ und für alle $xin[-1,1-varepsilon]$ durch die Formel $g(x)=frac{x+1}{x-1}$ gegeben.
d) Schnitte Bestimmen Sie den Schnitt $g(-1-varepsilon)g(-1)$ und den Schnitt $g(-1)g(1-varepsilon)$.
Lösung: Der Schnitt $g(-1-varepsilon)g(-1)$ ist $frac{-1-(-1-varepsilon)}{-1-(-1)}cdotfrac{-1-(-1)}{-1-(-1)}=frac{2varepsilon}{2}cdotfrac{2}{2}=varepsilon$. Der Schnitt $g(-1)g(1-varepsilon)$ ist $frac{-1-(-1)}{-1-(1-varepsilon)}cdotfrac{-1-(1-varepsilon)}{-1-(1-varepsilon)}=frac{2}{2-varepsilon}cdotfrac{2-varepsilon}{2-varepsilon}=1-varepsilon$.
e) Monotonie Falls $g(-1-varepsilon)g(-1)<0$ gilt, ist $f$ auf dem Intervall $[-1-varepsilon,-1]$ monoton steigend, sonst ist sie auf diesem Intervall monoton fallend.
Lösung: Auf dem Intervall $[-1-varepsilon,-1]$ ist die Funktion $f$ monoton fallend.
f) Monotonie Falls $g(-1)g(1-varepsilon)<0$ gilt, ist $f$ auf dem Intervall $[-1,1-varepsilon]$ monoton fallend, sonst ist sie auf diesem Intervall monoton steigend.
Lösung: Auf dem Intervall $[-1,1-varepsilon]$ ist die Funktion $f$ monoton steigend.
g) Kurvendiskussion Führen Sie die Kurvendiskussion der Funktion $f$ im Punkt $a=-1$ durch und geben Sie an, wie sich die Funktion in $-1$ verhält.
Lösung: Die Funktion $f$ ist auf dem gesamten Intervall $[-1-varepsilon,-1+varepsilon]$ monoton fallend. In $-1$ ist sie stetig.
Aufgabe 3
Sei $f$ die gebrochene rationale Funktion, die für alle $xneq 0$ durch die Formel $f(x)=frac{2}{x}$ gegeben ist.
a) Sprunghöhe Berechnen Sie die Sprunghöhe $Delta f(0)$.
Lösung: Die Sprunghöhe ist $Delta f(0)=f(0+)-f(0-)=limlimits_{xto 0+}frac{2}{x}-limlimits_{xto 0-}frac{2}{x}=+infty-limlimits_{xto 0-}frac{2}{x}=-infty$.
b) Vorzeichen Bestimmen Sie den Schnitt $f(0+)f(0-)$.
