Lösungen zu Lagrange-Aufgaben – Eine Einführung in die Theorie und Anleitung zur Lösung
In diesem Artikel werden wir uns mit Lagrange-Aufgaben beschäftigen. Wir werden zunächst die Theorie hinter diesen Aufgaben erläutern und dann einige Beispiele durchgehen. Zum Schluss werden wir 5 Aufgaben mit Lösungen vorstellen.
Was sind Lagrange-Aufgaben?
Lagrange-Aufgaben sind ein spezieller Typ von Optimierungsaufgaben. In diesen Aufgaben geht es darum, eine bestimmte Funktion zu minimieren oder zu maximieren. Diese Funktion ist in der Regel eine quadratische Funktion.
Die Theorie hinter Lagrange-Aufgaben
Wenn wir eine Lagrange-Aufgabe lösen wollen, müssen wir zunächst die Funktion, die wir minimieren oder maximieren wollen, in eine sogenannte Lagrange-Funktion umwandeln. Diese Lagrange-Funktion ist eine Kombination aus der ursprünglichen Funktion und einer neuen Variable, die wir Lagrange-Multiplikator nennen. Der Lagrange-Multiplikator ist eine mathematische Variable, die uns hilft, die Bedingungen für eine optimale Lösung zu finden.
Beispiel 1
Betrachten wir zunächst ein einfaches Beispiel. Wir wollen die quadratische Funktion f(x)=x^2 minimieren. Die Lagrange-Funktion für dieses Problem ist: L(x,y)=x^2+y(1-x^2) Der Lagrange-Multiplikator y ist hier die Variable, die uns hilft, die Bedingung für eine optimale Lösung zu finden. In diesem Fall ist die Bedingung, dass die Ableitung der Lagrange-Funktion nach x gleich 0 ist. Wenn wir die Lagrange-Funktion nach x ableiten, erhalten wir: dL/dx=2x-2x^3+y'(1-x^2) Wir können sehen, dass die Bedingung für eine optimale Lösung ist, dass 2x-2x^3=0 ist. Dies ist gleichbedeutend mit x=0 oder x=1/sqrt(2). Wenn wir unsere Lagrange-Funktion nach y ableiten, erhalten wir: dL/dy=1-x^2 Wir können sehen, dass die Bedingung für y ist, dass 1-x^2=0 ist. Dies ist gleichbedeutend mit x=1.
Beispiel 2
Betrachten wir nun ein etwas komplexeres Beispiel. Wir wollen die quadratische Funktion f(x,y)=x^2+y^2 minimieren, unter der Bedingung, dass x+y=1 ist. Die Lagrange-Funktion für dieses Problem ist: L(x,y,lambda)=x^2+y^2+lambda(x+y-1) Der Lagrange-Multiplikator lambda ist hier die Variable, die uns hilft, die Bedingung für eine optimale Lösung zu finden. In diesem Fall ist die Bedingung, dass die Ableitungen der Lagrange-Funktion nach x und y gleich 0 sind. Wenn wir die Lagrange-Funktion nach x und y ableiten, erhalten wir: dL/dx=2x+lambda dL/dy=2y+lambda Wir können sehen, dass die Bedingungen für eine optimale Lösung sind, dass 2x+lambda=0 und 2y+lambda=0 sind. Dies ist gleichbedeutend mit x=-lambda/2 und y=-lambda/2. Wenn wir unsere Lagrange-Funktion nach lambda ableiten, erhalten wir: dL/dlambda=x+y-1 Wir können sehen, dass die Bedingung für lambda ist, dass x+y-1=0 ist. Dies ist gleichbedeutend mit x+y=1.
5 Aufgaben mit Lösungen
1. Finde die Lagrange-Funktion für das Problem: Minimiere f(x,y)=x^2+y^2 unter der Bedingung, dass x+y=1. Lösung: L(x,y,lambda)=x^2+y^2+lambda(x+y-1) 2. Finde die Lagrange-Funktion für das Problem: Maximiere f(x,y)=x^2+y^2 unter der Bedingung, dass x+y=1. Lösung: L(x,y,lambda)=x^2+y^2-lambda(x+y-1) 3. Finde die Lagrange-Funktion für das Problem: Minimiere f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 unter der Bedingung, dass x+y+z=1. Lösung: L(x,y,z,lambda)=x^2+y^2+z^2+lambda(x+y+z-1) 4. Finde die Lagrange-Funktion für das Problem: Maximiere f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 unter der Bedingung, dass x+y+z=1. Lösung: L(x,y,z,lambda)=x^2+y^2+z^2-lambda(x+y+z-1) 5. Finde die Lagrange-Funktion für das Problem: Minimiere f(x,y)=x^2+y^2 unter der Bedingung, dass x^2+y^2=1. Lösung: L(x,y,mu)=x^2+y^2+mu(x^2+y^2-1)
